刻苦钻研
每一位名副其实的数学家都曾体验过……那种思如泉涌、豁然开朗的振奋状态，念头纷至沓来，有如神助……这种感觉有时能持续数小时，甚至数日。一旦体验过，你便渴望重温，却无法随心所欲，除非……依靠不懈的努力。 (André Weil，《一个数学家的学徒时代》)
单凭小聪明在最后关头侥幸成功，或许能应付一时，但总的来说，在研究生或更高学术阶段，此路不通。
要在数学领域取得任何实质性的进展，需要进行大量的阅读与写作，而非仅仅思考；与大众普遍的认知相反，数学上的突破并非单纯（甚至主要）源于天才灵光一现的「尤里卡」时刻，实际上，它在很大程度上是辛勤耕耘的产物，当然，也离不开经验与直觉的指引。（亦可参阅「天才崇拜之现象」）。
细节之中往往藏有魔鬼；若你自认理解了某部分数学知识，你应当能够通过研读所有相关文献，并至少勾勒出该部分数学内容是如何推演的草稿来加以佐证，最终则应撰写出关于该主题的完整而详尽的论述。（亦可参阅「学习并时常温习你的领域」）。如果能仅仅构想出宏伟蓝图，然后让一些「凡夫俗子」去填充细节，那自然是再惬意不过了，但是，请相信我，在数学领域，事情绝非如此运作；过往的经验表明，只有那些为了支撑其「宏伟构想」而已经仔细积累了大量细节和其他佐证材料（或至少是一个「概念验证」）的论文，才值得我们投入时间和精力去关注。倘若思想的提出者不愿亲力，那么其他人大概率也不会代劳。
简而言之，通往数学殿堂并无御赐坦途；要达到那种直觉与严格证明高度契合的「超越严谨」的境界，你必须首先投入真正的努力去学习并时常温习该领域知识，了解各种工具的长处与局限，洞悉数学领域其他的新进展，学习如何严谨地解决问题，以及解答诸多看似愚笨的问题等等。所有这一切，都需要刻苦的努力。
当然，要做到刻苦努力，如果你能乐在其中，那无疑大有裨益。同样重要的是，要将精力投向富有成效的方向，而非徒劳无功之处；具体而言，要花些时间深思远虑，并且切勿沉溺于单一的「重大难题」或「宏大理论」。
当然，总会有那么一些时候，你会因为过于沮丧、疲惫，或因其他原因而对当前的项目提不起干劲。这完全正常，而强迫自己持续进行该项目，一段时间后反而可能弄巧成拙。我发现，当由于任何原因不愿进行主要项目时，手头有一些较小的项目（或可能是一些非数学的杂务）会很有帮助；反过来，如果我对这些琐碎任务感到厌倦，我常常能说服自己去攻克那些更具挑战性的项目。亦可参阅我关于时间管理的思考。
有时，你也会意识到某个项目在当前阶段确实力不能及，此时，调整项目目标，或者将其束之高阁转而进行其他项目，都是明智之举：请参阅「保持灵活性」和「善用废纸篓」。
最后一点需要注意：「努力工作」与「最大化工作时长」之间存在着重要的区别。尤其需要指出的是，即便在疲惫、缺乏动力、准备不足或因其他事务分心时仍强迫自己工作，最终可能对你的长期工作效率产生负面影响。存在一个饱和点，一旦超过这个点再强迫自己延长工作时间，实际上反而会减少你长期内完成的总工作量（因为这可能导致额外的疲劳、动力丧失，或处理非工作事务的需求日益迫切）。总的来说，最好是努力安排几个小时的高质量工作时间——在你有动力、精力充沛、准备充分且不受干扰的时候——而不是试图在日程中塞满大量低质量的工作时间，那时上述四个因素中的一个或多个都不具备。
亦可参阅 Ira Glass 的这段引言，它阐述了为弥合低质量与高质量创造性产出之间的差距所需付出的艰苦努力。
